1.5. Эквивалентность множеств. Мощность множеств
Рассмотрим
два конечных множества А и В.
Если они имеют одинаковое количество элементов, то они называются равночисленными. В противном случае
множества А и В
неравночисленны.
Оказывается,
для того чтобы установить равночисленность или неравночисленность двух множеств, не всегда нужно
подсчитывать количество их элементов. Например, для сравнения численности
множеств юношей и девушек в аудитории, можно не подсчитывать количество
элементов в каждом множестве, а каждому юноше поставить в пару девушку. Теперь,
если каждому юноше будет поставлена в пару девушка и не останется ни одной
свободной девушки, значит, количества юношей и девушек одинаковы. Если
останутся без пары юноши, значит количество девушек меньше, чем юношей; если
останутся без пары девушки, значит их количество больше. В первом случае
множества юношей и девушек равночисленны, в двух последних – неравночисленны.
Если
каждому элементу множества А можно по некоторому правилу поставить в соответствие один
и только один элемент множества В и,
наоборот, каждому элементу множества В
по некоторому правилу можно поставить в соответствие один и только один элемент
множества А, то говорят, что между
элементами множеств А и В установлено взаимно однозначное соответствие. В
этом случае множества А и В называют эквивалентными и записывают: А~B.
Очевидно,
что равночисленные множества эквивалентны.
И, наоборот, два эквивалентных конечных
множества равночисленны.
Этот
факт является логически чрезвычайно важным, так как для установления равночисленности конечных множеств нет необходимости
обладать понятием натурального числа, с помощью которого мы подсчитываем
элементы множеств. Напротив, теперь само понятие натурального числа получает
новую трактовку: оно есть количественная характеристика, общая всем
эквивалентным между собой конечным множествам. Теперь можно, пользуясь только
понятиями «множество», «принадлежность», «взаимно однозначное соответствие»
построить всю теорию натуральных чисел.
Рассмотрим
теперь бесконечные множества. Для сравнения бесконечных множеств нельзя
использовать понятие натурального числа, ибо нельзя пересчитать все элементы
таких множеств и поставить им в соответствие натуральное число. Однако их можно
сравнивать при помощи понятий «взаимно однозначное соответствие»,
«эквивалентность».
Множество,
эквивалентное множеству всех натуральных чисел, называется счетным множеством. Например, между множествами N={1, 2, 3, …, n, …} и A={-1, -2, -3, …, -n, …} можно установить взаимно-однозначное
соответствие. Значит А~N и множество целых отрицательных чисел является счетным.
Если
для конечных эквивалентных множеств мы говорили, что они равночисленны, то о
бесконечных множествах будем говорить, что они равномощны, т.е. имеют одинаковую мощность. Все эквивалентные
бесконечные множества характеризуются их мощностью.
Понятие
мощности бесконечного множества аналогично понятию числа конечного множества.
Мощность – обобщение понятия
«количество» для бесконечных множеств. Оно позволяет сравнивать различные
бесконечные множества.
Между
двумя мощностями бесконечных множеств можно устанавливать отношения:
«равенство», «больше», «меньше». Это дает основание назвать символы,
обозначающие мощности бесконечных множеств, считать «числами». Георг Кантор
назвал такие «числа» кардинальными (в отличие от натуральных), подчеркивая тем
самым, что область определенных величин не исчерпывается конечными величинами.
Понятие кардинального числа есть расширение, обобщение понятия числа вообще.
Расширение понятия числа в область бесконечного означает переход математического мышления к
качественно-новому этапу его развития.