ГЛАВА
2
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Единственное
средство улучшить наши умозаключения состоит в том, чтобы сделать их столь же
наглядными, как и у математиков, - такими, что их ошибочность можно было бы
увидеть глазами, и если между людьми возникают разногласия, достаточно было бы
только сказать "Вычислим!", чтобы без дальнейших околичностей стало
ясно, кто прав.
Г.В. Лейбниц
Логика – это наука,
изучающая формы и законы мышления, закономерности мыслительного процесса. Слово
«логика» произошло от греческого logos, что означает
слово, понятие, рассуждение, разум. Законы и правила формальной логики
необходимо знать для построения правильных рассуждений. Логические знания
чрезвычайно важны для повышения эффективности мыслительной деятельности
человека и предотвращения логических ошибок. Согласно основному принципу логики,
правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой
(структурой) и не зависит от конкретного содержания входящих в него
утверждений. Например, рассуждения «Все люди смертны. Сократ – человек.
Следовательно, Сократ смертен» и «Все металлы электропроводны. Медь – металл.
Следовательно, медь электропроводна» имеют одинаковую логическую структуру,
называемую силлогизмом. Отличительная
особенность правильного вывода состоит в том, что из истинных исходных утверждений всегда получаются
истинные заключения. Это позволяет из одних истин получать другие с помощью
только рассуждения, разума и без обращения к опыту.
Логика состоит из большого числа
логических систем, описывающих отдельные типы содержательных рассуждений. Эти
системы принято делить на классическую
логику, включающую классические логику высказываний и логику предикатов, и неклассическую логику, в которую входят
модальная логика, многозначная логика, деонтическая логика, логика времени,
паранепротиворечивая логика, парафальсифицирующая логика и др. Все эти частные системы, пользующиеся одними
и теми же методами исследования при описании отдельных логических процессов,
соединяясь вместе, и образуют логику как единую науку. Для любой логики
характерно отвлечение от конкретного содержания высказываний или умозаключений
и оперирование только их формальным содержанием, использование единого языка
символов и формул.
Как
самостоятельная наука, логика оформилась в трудах греческого философа
Аристотеля (384 – 322 гг. до н.э.). Он систематизировал известные до него
сведения, и эта система стала впоследствии называться традиционной или
Аристотелевой логикой. Аппарат
логики Аристотеля оказался настолько мощным, что, например, на его основе
средневековый философ и богослов Фома Аквинский (1225 – 1274) осуществил
обоснование всей христианской теологии. Широкое применение силлогистика нашла
также в судебной практике, когда материалы предварительного следствия брались
за истинные посылки. Применяя к этим посылкам процедуры порождения новых утверждений
по правилам теории Аристотеля, судьи делали вывод о виновности или невиновности
подсудимого. Традиционная логика
просуществовала без серьезных изменений более двадцати столетий.
В XIX в. - начале XX в. в логике произошла научная революция и на смену традиционной логике
пришла современная логика, называемая также математической или символической
логикой. Развитие математики выявило недостаточность Аристотелевой логики и
поставило задачу о ее дальнейшем построении на математической основе. Впервые
в истории идеи о таком построении логики были высказаны немецким математиком
Готфридом Лейбницем (1646 — 1716) в конце XVII
века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами,
которые соединяются по определенным
правилам, и это позволяет всякие рассуждения заменить вычислением. Джордж Буль (1815 -
1864) в своей работе «Исследование
законов мысли» (
Введение
символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее
значение, как и введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря
введению символов в логику была получена основа для создания новой науки —
математической логики. Предметом математической логики служат рассуждения, при
изучении которых она пользуется математическими методами.
При этом на
первых порах развитие математической логики позволило представить логические
теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению
задач, малодоступных человеческому мышлению, что, конечно, расширило область
логических исследований. Однако главное назначение математической логики
определилось в конце XIX века, когда стала ясна необходимость обоснования
понятий и идей самой математики. Эти задачи имели логическую природу и,
естественно, привели к дальнейшему развитию математической логики.
В этом
отношении показательны работы немецкого математика Готлоба Фрёге (1848
-1925) и итальянского математика Джузеппе Пеано (1858 - 1932), которые
применили математическую логику для обоснования арифметики и теории множеств.
В развитие
логики значительный вклад внесли Бертран Рассел (1872 – 1970), А. Уайтхед (1861
– 1947), Д. Гильберт (1862 – 1943), К. Гёдель (1906 – 1978), А. Тарский (1901 –
1983) и др.
В первой
половине XX в. стали складываться многозначная логика, предполагающая, что
утверждение может быть не только истинным или ложным, но иметь и другие
значения истинности; деонтическая логика,
изучающая логические связи нормативных высказываний; модальная логика, рассматривающая понятия необходимости,
возможности, случайности и т.п.; эпистемическая
логика, изучающая такие понятия, как опровержимо, неразрешимо, доказуемо,
убежден и т.п., паранепротиворечивая
логика, парафальсифицирующая логика и
др. Все эти новые разделы логики были
связаны с естественными и гуманитарными науками. Перемены, происшедшие с логикой в ХХ в., приблизили ее
к непосредственному человеческому мышлению, к практической деятельности
человека.
Знание логики
является неотъемлемой частью
юридического образования. Оно позволяет правильно строить судебно-следственные
версии, составлять четкие планы расследования преступлений, не допускать ошибок
при составлении официальных документов, протоколов, обвинительных заключений,
решений и постановлений.
Знаменитые
юристы всегда использовали знание логики. В суде они, например, не
ограничивались простым несогласием с доводами обвинения, если видели в них
логическую ошибку. Они объясняли, какая ошибка допущена, говорили, что эта
ошибка специально рассматривается в логике и имеет особое название. Такой довод
оказывал воздействие на всех присутствующих, даже если присутствующие никогда
не изучали логики.
Знание правил и
законов логики не является конечной целью ее изучения. Конечная цель изучения
логики - умение применять ее правила и законы в процессе мышления. Истина и
логика взаимосвязаны, поэтому значение логики невозможно переоценить. Логика
помогает доказывать истинные сужения и опровергать ложные, она учит мыслить
четко, лаконично, правильно.
Далее мы
рассмотрим наиболее простой раздел логики – логику высказываний.
Логика
высказываний - раздел логики, в котором вопрос об истинности или
ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа
построения высказываний из т. н. элементарных (далее не разлагаемых и не
анализируемых) с помощью логических связок. Логику высказываний, задаваемую
системой постулатов (аксиом и правил вывода), называют также исчислением
высказываний.
Основным понятием этого раздела логики естественно является высказывание.
Остановимся на нем более подробно.