1.2. Конечные и бесконечные множества. Подмножество
Для
дальнейшего изучения множеств попытаемся дать некоторую их классификацию.
Прежде всего, множества можно разделить на конечные и
бесконечные.
Конечным множеством
называется множество, состоящее из конечного числа элементов. Примерами
конечных множеств могут быть множество корней алгебраического уравнения n-й степени, множество букв русского алфавита, множество
персонажей романа Михаила Булгакова «Мастер и Маргарита», множество атомов
Солнечной системы. Причем неважно, известно число элементов множества или нет,
главное, чтобы оно существовало.
В математике приходится сталкиваться и с другими –
неконечными, или, как принято говорить, с бесконечными множествами. Множество
называется бесконечным, если оно состоит из бесконечного числа
элементов. Таковы, например, множество всех натуральных чисел, множество точек
окружности, множество прямых, проходящих через точку плоскости, и т.д.
К конечным множествам относится и множество, не
содержащее элементов вообще. Такое множество называют пустым и
обозначают Æ.
Необходимость его введения вызвана тем, что, определяя множество с помощью
некоторого условия, мы не всегда можем сказать заранее, содержит ли оно
элементы или нет. Например, в 101-й группе может не быть отличников и тогда А={а |
а – отличник 101-й группы}=Æ.
Пустым
множеством является и множество корней системы уравнений:
Без
введения пустого множества мы не могли бы, скажем, говорить о множестве корней
произвольного уравнения, не убедившись предварительно, что данное уравнение
имеет хотя бы один корень. Существование этого понятия сокращает и упрощает
формулировки многих теорем, облегчает введение новых понятий.
Если каждый элемент множества В является также и элементом
множества А, то говорят, что
множество В называется подмножеством
множества А.
Обозначатся
это следующим образом: В Í А (В включено в А).
Например,
{2, 4} Í {2, 3, 4, 5}. Множество
пешек в шахматах является подмножеством шахматных фигур, множество квадратов –
подмножеством прямоугольников, множество отличников 101 группы – подмножеством
студентов этой группы.
Подмножество В может и
совпадать с множеством А, т.е.
множества А и В будут состоять из одних и тех же элементов. В этом случае
множества А
и В называются равными: А=В
(интуитивный принцип объемности).
Например, множества X={2, 3} и Y={y | 
} состоят из чисел 2 и 3. Значит X=Y.
Если
в множествах А
и В отличаются хотя бы одним
элементом, то А¹В.
Можно заметить, что само множество
А является подмножеством
самого себя:
А
Í А.
(2.1)
Действительно, по определению
подмножества каждый элемент множества А является элементом множества А. Это свойство множества называют рефлексивностью.
Кроме того, пустое множество, по определению,
считают подмножеством любого множества:
Æ Í А.
(2.2)
В
самом деле, если Æ не является подмножеством А, то в нем находится хотя бы
один элемент, не содержащийся в множестве А.
Но в Æ такого
элемента нет, так как Æ не содержит ни одного элемента.
Все множества, с которыми имеют дело в том или ином
рассуждении, являются подмножествами некоторого множества I, т.е. для
любого множества А
А Í I.
В этом
случае множество I называют универсальным множеством. Например, для алгебры
универсальным множеством является множество действительных чисел. Если мы
рассматриваем множества точек на плоскости, то универсальным будет множество
всех точек на плоскости.
Таким
образом, у любого множества обязательно
существуют хотя бы два подмножества: пустое множество и само множество. Эти два
подмножества называются несобственными подмножествами. Любое подмножество,
отличное от несобственного, называется собственным подмножеством данного
множества.
Множество
всех подмножеств множества А называется множеством-степенью множества А и обозначается P(A). Например,
для А={2, 3}
множество-степень P(A)={А, {2}, {3}, Æ}, для А={1,2,3}
множество-степень таково: P(A)={А, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2,
3}, Æ}. Название
«множество-степень» исходит из того, что число всех подмножеств n-элементного
множества равно 
. Продемонстрируем данный результат. Множество, состоящее из
одного элемента а, имеет два
подмножества: Æ и {a}.
Множество, состоящее из двух элементов а
и b, имеет уже 4 подмножества: те же Æ и {a} и еще {b}, {a, b}. Добавим
третий элемент с. Множество {a, b, c} кроме
рассмотренных выше 4 подмножеств Æ, {a}, {b}, {a, b} имеет еще 4 подмножества {c}, {a, c}, {с, b}, {a, b, c}.Таким образом, ясно, что каждый
раз прибавление еще одного элемента ведет к удвоению числа подмножеств. И
множество, состоящее из n-элементов, имеет подмножеств.
Кроме свойств (2.1) и (2.2) выделяют следующие
свойства отношения включения:
·
если АÍВ и ВÍС, то АÍС
(транзитивность);
·
если АÍВ и ВÍА, то А=В. (2.3)
Для
выражения (2.3) верно и обратное ему: если А=В, то АÍВ
и ВÍА. Эти выражения непосредственно
вытекают из определений подмножества и равенства множеств.
Множество А называется истинным подмножеством множества В, если А
В и А≠В. В этом случае записывают:
АÌВ.
Так,
{2, 4} Ì {2, 3, 4, 5}. Множество
пешек в шахматах также будет истинным подмножеством шахматных фигур, а вот множество отличников 101-й группы может,
чисто теоретически, совпадать с множеством студентов 101-й группы.
Для
истинных подмножеств также выполняется свойство транзитивности: если А
В и ВС, то АС.